Упр.52.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3;
2) 1·4+2·7+3·10+…+n(3n+1)=n(n+1)^2;
3) 1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1).

Подробный ответ

Докажем по индукции:
$$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.$$
При $$n=1$$:
$$1\cdot 2=2,\qquad \frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}=2.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+k(k+1)+(k+1)(k+2) $$
$$ =\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2) $$
$$ =(k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3}+1\right) =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}. $$
Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.
Докажем:
$$1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$
При $$n=1$$:
$$1\cdot 4=4,\qquad 1\cdot (1+1)^2=4.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)=k(k+1)^2.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)+(k+1)(3k+4) $$
$$ =k(k+1)^2+(k+1)(3k+4) $$
$$ =(k+1)\bigl(k(k+1)+3k+4\bigr) =(k+1)(k^2+4k+4) $$
$$ =(k+1)(k+2)^2. $$
Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.
Докажем:
$$1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1).$$
При $$n=1$$:
$$1^3=1,\qquad 1^2(2\cdot 1^2-1)=1.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1^3+3^3+\dots+(2k-1)^3=k^2(2k^2-1).$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1^3+3^3+\dots+(2k-1)^3+(2k+1)^3 $$
$$ =k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3 $$
$$ =2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1 $$
$$ =2k^4+8k^3+11k^2+6k+1 $$
$$ =(k+1)^2(2k^2+4k+1) = (k+1)^2\bigl(2(k+1)^2-1\bigr). $$
Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.