Упр.52.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 1+2+3+…+n=n(n+1)/2;
2) 1^3+2^3+3^3+…+n^3=(n(n+1)/2)^2;
3) 1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6;
4) 1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2=n(4n^2-1)/3.

Подробный ответ

Докажем формулу по индукции.
При $$n=1$$:
$$1=\frac{1\cdot(1+1)}{2}.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1+2+\dots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1) $$
$$ =\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} =\frac{(k+1)(k+2)}{2} =\frac{(k+1)\big((k+1)+1\big)}{2}. $$
Следовательно, формула верна для любого натурального $$n$$.
При $$n=1$$:
$$1^3=\left(\frac{1\cdot(1+1)}{2}\right)^2.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1^3+2^3+\dots+k^3=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1^3+2^3+\dots+k^3+(k+1)^3 =\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3 $$
$$ =\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 =\frac{(k+1)^2\big(k^2+4k+4\big)}{4} =\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} =\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2. $$
Значит,
$$1^3+2^3+\dots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$$
При $$n=1$$:
$$1^2=\frac{1\cdot(1+1)(2\cdot1+1)}{6}.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1^2+2^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 $$
$$ =\frac{(k+1)\big(k(2k+1)+6(k+1)\big)}{6} =\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6} $$
$$ =\frac{(k+1)(2k+3)(k+2)}{6} =\frac{(k+1)\big((k+1)+1\big)\big(2(k+1)+1\big)}{6}. $$
Следовательно, формула верна для любого натурального $$n$$.
При $$n=1$$:
$$1^2=\frac{1(4\cdot1^2-1)}{3}.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1^2+3^2+5^2+\dots+(2k-1)^2=\frac{k(4k^2-1)}{3}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1^2+3^2+5^2+\dots+(2k-1)^2+(2k+1)^2 =\frac{k(4k^2-1)}{3}+(2k+1)^2 $$
$$ =\frac{k(4k^2-1)+3(2k+1)^2}{3} =\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3} $$
$$ =\frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3} =\frac{(k+1)\big(4(k+1)^2-1\big)}{3}. $$
Значит,
$$1^2+3^2+5^2+\dots+(2n-1)^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}.$$