Упр.52 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите период функции $$f(x)=\operatorname{tg}\left(\frac{4\pi x}{9}\right)+\operatorname{ctg}\left(\frac{9\pi x}{4}\right)$$.

Период функции $$\tg x$$ равен $$\pi$$, а период функции $$\ctg x$$ также равен $$\pi$$.

Для функции $$\tg\frac{4\pi x}{9}$$ главный период равен

$$T_1=\frac{\pi}{\frac{4\pi}{9}}=\frac{9}{4}.$$

Для функции $$\ctg\frac{9\pi x}{4}$$ главный период равен

$$T_2=\frac{\pi}{\frac{9\pi}{4}}=\frac{4}{9}.$$

Найдём наименьший общий период для суммы функций. Для этого приведём $$T_1$$ и $$T_2$$ к общему знаменателю:

$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{9/4}{4/9}=\frac{81}{16}.$$

Следовательно, наименьший общий период равен

$$T=16T_1=81T_2=36.$$

Ответ: $$36$$.