Упр.52.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 52.2. Рассмотрите значения многочлена f(n)=n^2+n+17 при n=1, n=2, n=3, n=4 и n=5. Сделайте предположение. Установите, является ли высказанная гипотеза верной.

Вычислим значения многочлена при указанных значениях аргумента:

$$f(n)=n^2+n+17$$
$$f(1)=1^2+1+17=19$$
$$f(2)=2^2+2+17=23$$
$$f(3)=3^2+3+17=29$$
$$f(4)=4^2+4+17=37$$
$$f(5)=5^2+5+17=47$$

Полученные числа $$19, 23, 29, 37, 47$$ — простые. Поэтому можно предположить, что при натуральных значениях $$n$$ выражение $$n^2+n+17$$ всегда даёт простое число.

Проверим это предположение. Возьмём, например, $$n=17$$:

$$f(17)=17^2+17+17=17^2+2\cdot 17=17(17+2)=17\cdot 19$$

Это составное число, значит высказанная гипотеза неверна.

Ответ

При $$n=1,2,3,4,5$$ получаем простые числа $$19, 23, 29, 37, 47$$. Предположение о том, что все значения многочлена при натуральных $$n$$ простые, неверно: например, при $$n=17$$ имеем $$f(17)=17\cdot 19$$, то есть число составное.