Упр.52 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 52. Найдите период функции f(x)=tg(4?x/9)+ctg(9?x/4).

Найдём периоды слагаемых функции

$$f(x)=\tg\frac{4\pi x}{9}+\ctg\frac{9\pi x}{4}.$$

Для функции $$\tg t$$ период равен $$\pi$$, значит

$$T_1=\pi:\frac{4\pi}{9}=\frac{9}{4}.$$

Для функции $$\ctg t$$ период также равен $$\pi$$, значит

$$T_2=\pi:\frac{9\pi}{4}=\frac{4}{9}.$$

Ищем наименьшее общее кратное чисел $$\frac{9}{4}$$ и $$\frac{4}{9}$$. Пусть общий период равен $$T$$. Тогда

$$\frac{T}{9/4}=m,\qquad \frac{T}{4/9}=n,$$

где $$m$$ и $$n$$ — целые числа. Удобно сравнить дроби:

$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{9/4}{4/9}=\frac{81}{16}.$$

Следовательно, общий период можно взять равным

$$T=36.$$

Ответ

$$36$$