Упр.52.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) (7^(n+1)+8^(2n-1))?19; 2) (7·24^n-5·13^n-2^(n+1))?11.
Докажем делимость на $$19$$ по индукции.
База: при $$n=1$$
$$7^{n+1}+8^{2n-1}=7^2+8^1=49+8=57,$$
а $$57$$ делится на $$19$$.
Переход: пусть для некоторого $$n=k$$ выражение $$7^{k+1}+8^{2k-1}$$ делится на $$19$$. Докажем для $$n=k+1$$:
$$ 7^{k+2}+8^{2k+1} =7\cdot 7^{k+1}+64\cdot 8^{2k-1} =7\bigl(7^{k+1}+8^{2k-1}\bigr)+57\cdot 8^{2k-1}. $$
Так как $$7^{k+1}+8^{2k-1}$$ делится на $$19$$, а $$57$$ делится на $$19$$, то и всё выражение делится на $$19$$.
Докажем делимость на $$11$$ по индукции.
База: при $$n=1$$
$$7\cdot 24^1-5\cdot 13^1-2^{1+1}=7\cdot 24-5\cdot 13-2^2=168-65-4=99,$$
а $$99$$ делится на $$11$$.
Переход: пусть для некоторого $$n=k$$ выражение $$7\cdot 24^k-5\cdot 13^k-2^{k+1}$$ делится на $$11$$. Рассмотрим $$n=k+1$$:
$$ 7\cdot 24^{k+1}-5\cdot 13^{k+1}-2^{k+2} =168\cdot 24^k-65\cdot 13^k-4\cdot 2^k. $$
Преобразуем:
$$ 168\cdot 24^k-65\cdot 13^k-4\cdot 2^k =77\cdot 24^k-22\cdot 2^k+11\bigl(7\cdot 24^k-2\cdot 2^k\bigr). $$
Следовательно, всё выражение делится на $$11$$.
Ответ
1) $$7^{n+1}+8^{2n-1}$$ делится на $$19$$ при любом натуральном $$n$$.
2) $$7\cdot 24^n-5\cdot 13^n-2^{n+1}$$ делится на $$11$$ при любом натуральном $$n$$.
