Упр.51 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 51. Докажите, что функция f(x)=cos(vx)^2 не является периодичеcкой.

Область определения функции

$$f(x)=\cos(\sqrt{x})^2$$

такова:

$$D(f)=[0;+\infty).$$

Предположим, что функция периодическая и имеет период $$T>0$$. Тогда для любого $$x\in D(f)$$ должно выполняться:

$$x-T\in D(f).$$

Возьмём $$x_0=0$$. Тогда

$$x_0-T=-T<0,$$

то есть $$x_0-T\notin D(f)$$, а значит, значение $$f(x_0-T)$$ не определено.

Следовательно, не существует такого положительного числа $$T$$, при котором выполнялось бы условие периодичности для всех $$x\in D(f)$$. Значит, функция $$f(x)=\cos(\sqrt{x})^2$$ не является периодической.

Ответ

Функция $$f(x)=\cos(\sqrt{x})^2$$ не является периодической.