Упр.51.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 51.4. Докажите, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+…+a_1 x+a_0=0 имеет рациональный корень x_0=p/q, где p/q — несократимая дробь, то р — делитель свободного члена a_0, q — делитель старшего коэффициента а_n.

Подробный ответ

Пусть рациональный корень уравнения имеет вид $$x_0=\frac{p}{q},$$ где дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

Подставим его в уравнение:

$$a_n\left(\frac{p}{q}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\dots+a_1\frac{p}{q}+a_0=0.$$

Умножим обе части на $$q^n$$:

$$a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0.$$

Перенесём первый член в правую часть:

$$a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=-a_np^n.$$

Левая часть делится на $$q$$, значит и правая часть делится на $$q$$. Так как $$\gcd(p,q)=1,$$ то $$q$$ не делит $$p^n$$, следовательно, $$q$$ делит $$a_n$$.

Аналогично, из исходного равенства видно, что все слагаемые, кроме последнего, делятся на $$p$$, значит и последний член $$a_0q^n$$ делится на $$p$$. Поскольку $$\gcd(p,q)=1,$$ число $$p$$ не делит $$q^n,$$ поэтому $$p$$ делит $$a_0$$.

Итак, $$p$$ — делитель свободного члена $$a_0,$$ а $$q$$ — делитель старшего коэффициента $$a_n.$$