Упр.51.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 51.3. Докажите, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами x^n+a_(n-1) x^(n-1)+…+a_1 x+a_0=0 имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Пусть рациональный корень уравнения имеет вид $$x_0=\frac{p}{q},$$ где дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

Подставим $$x_0$$ в уравнение:

$$\left(\frac{p}{q}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\cdots+a_1\frac{p}{q}+a_0=0.$$

Умножим обе части на $$q^n$$:

$$p^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0.$$

Все слагаемые, кроме первого, делятся на $$q$$. Значит, и первое слагаемое $$p^n$$ тоже делится на $$q$$.

Но если $$\frac{p}{q}$$ несократима, то из делимости $$p^n$$ на $$q$$ следует, что $$q=1$$. Иначе число $$p$$ тоже делилось бы на $$q$$, что противоречит несократимости дроби.

Следовательно, $$x_0=\frac{p}{q}=p$$ — целое число.

Ответ

Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень является целым числом.