Упр.51 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$f(x)=\cos(vx)^2$$ не является периодической.

Область определения функции $$f(x)=\cos^2\sqrt{x}$$ такова: $$D(f)=[0;+\infty).$$

Предположим, что функция периодическая и имеет период $$T>0.$$ Тогда для любого $$x\in D(f)$$ число $$x-T$$ тоже должно принадлежать области определения функции.

Возьмём $$x_0=0.$$ Тогда $$x_0\in D(f),$$ но

$$x_0-T=-T<0,$$

значит, $$x_0-T\notin D(f).$$ Следовательно, условие периодичности не выполняется.

Кроме того, при $$x_0=0$$ имеем $$f(0)=\cos^2 0=1,$$ а значение $$f(0-T)$$ не определено, так как $$0-T\notin D(f).$$

Итак, функция $$f(x)=\cos^2\sqrt{x}$$ не является периодической.

Ответ

Функция $$f(x)=\cos^2\sqrt{x}$$ не является периодической.