Упр.51.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) x^3+x^2-4x+2=0; 4) x^4+4x^3-2x^2-4x+1=0;
2) x^3-x^2-8x+12=0; 5) x^4+2x^3-11x^2+4x+4=0;
3) x^3+4x^2+5x+2=0; 6) 3x^4+5x^3-9x^2-9x+10=0.

Подробный ответ

$$x^3+x^2-4x+2=0$$
Подбираем корень: $$x=1$$.
Тогда
$$x^3+x^2-4x+2=(x-1)(x^2+2x-2)=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=4+8=12,$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}.$$
Итак, $$x=1,\,-1-\sqrt{3},\,-1+\sqrt{3}.$$
$$x^3-x^2-8x+12=0$$
Подбираем корень: $$x=2$$.
Тогда
$$x^3-x^2-8x+12=(x-2)(x^2+x-6)=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25,$$
$$x=\frac{-1\pm 5}{2}.$$
Получаем $$x=-3$$ и $$x=2$$.
$$x^3+4x^2+5x+2=0$$
Подбираем корень: $$x=-1$$.
Тогда
$$x^3+4x^2+5x+2=(x+1)(x^2+3x+2)=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,$$
$$x=\frac{-3\pm 1}{2}.$$
Получаем $$x=-2$$ и $$x=-1$$.
$$x^4+4x^3-2x^2-4x+1=0$$
Разложим на множители:
$$x^4+4x^3-2x^2-4x+1=(x+1)(x-1)(x^2+4x-1)=0.$$
Тогда
$$x=-1,\quad x=1,$$
а также из уравнения $$x^2+4x-1=0$$:
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-1)=16+4=20,$$
$$x=\frac{-4\pm\sqrt{20}}{2}=-2\pm\sqrt{5}.$$
$$x^4+2x^3-11x^2+4x+4=0$$
Разложим на множители:
$$x^4+2x^3-11x^2+4x+4=(x-1)(x-2)(x^2+5x+2)=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 2=25-8=17,$$
$$x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}.$$
$$3x^4+5x^3-9x^2-9x+10=0$$
Разложим на множители:
$$3x^4+5x^3-9x^2-9x+10=(x+2)(x-1)(3x^2+2x-5)=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=4+60=64,$$
$$x=\frac{-2\pm 8}{6}.$$
Получаем $$x=1$$ и $$x=-\frac{5}{3}.$$