Упр.51.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$x^3+x^2-4x+2=0$$;
2. $$x^4+4x^3-2x^2-4x+1=0$$;
3. $$x^3-x^2-8x+12=0$$;
4. $$x^4+2x^3-11x^2+4x+4=0$$;
5. $$x^3+4x^2+5x+2=0$$;
6. $$3x^4+5x^3-9x^2-9x+10=0$$.

1) $$x^3+x^2-4x+2=0$$

Проверим корень $$x=1$$:

$$1+1-4+2=0$$

Тогда

$$x^3+x^2-4x+2=(x-1)(x^2+2x-2).$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x^2+2x-2=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=12$$

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$$

Ответ: $$1;\,-1-\sqrt{3};\,\sqrt{3}-1.$$

2) $$x^3-x^2-8x+12=0$$

Проверим корень $$x=2$$:

$$8-4-16+12=0$$

Тогда

$$x^3-x^2-8x+12=(x-2)(x^2+x-6).$$

$$x^2+x-6=0$$

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25$$

$$x=\frac{-1\pm 5}{2}$$

$$x_1=-3,\quad x_2=2$$

Ответ: $$-3;\,2.$$

3) $$x^3+4x^2+5x+2=0$$

Проверим корень $$x=-1$$:

$$-1+4-5+2=0$$

Тогда

$$x^3+4x^2+5x+2=(x+1)(x^2+3x+2).$$

$$x^2+3x+2=0$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=1$$

$$x=\frac{-3\pm 1}{2}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=-1$$

Ответ: $$-2;\,-1.$$

4) $$x^4+4x^3-2x^2-4x+1=0$$

Проверим корни $$x=1$$ и $$x=-1$$:

$$1+4-2-4+1=0,\qquad 1-4-2+4+1=0$$

Значит,

$$x^4+4x^3-2x^2-4x+1=(x+1)(x-1)(x^2+4x-1).$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x^2+4x-1=0$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-1)=20$$

$$x=\frac{-4\pm\sqrt{20}}{2}=-2\pm\sqrt{5}$$

Ответ: $$-1;\,1;\,-2-\sqrt{5};\,\sqrt{5}-2.$$

5) $$x^4+2x^3-11x^2+4x+4=0$$

Проверим корни $$x=1$$ и $$x=2$$:

$$1+2-11+4+4=0,\qquad 16+16-44+8+4=0$$

Тогда

$$x^4+2x^3-11x^2+4x+4=(x-1)(x-2)(x^2+5x+2).$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x^2+5x+2=0$$

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 2=17$$

$$x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}$$

Ответ: $$1;\,2;\,\frac{-5-\sqrt{17}}{2};\,\frac{-5+\sqrt{17}}{2}.$$

6) $$3x^4+5x^3-9x^2-9x+10=0$$

Проверим корни $$x=1$$ и $$x=-2$$:

$$3+5-9-9+10=0,\qquad 48-40-36+18+10=0$$

Тогда

$$3x^4+5x^3-9x^2-9x+10=(x+2)(x-1)(3x^2+2x-5).$$

Решаем квадратное уравнение:

$$3x^2+2x-5=0$$

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64$$

$$x=\frac{-2\pm 8}{6}$$

$$x_1=-\frac{5}{3},\quad x_2=1$$

Ответ: $$-2;\,-\frac{5}{3};\,1.$$