Упр.51.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^3+9x^2+23x+15=0;
2) 2x^3-x^2-5x-2=0;
3) 3x^4+5x^3-x^2-5x-2=0;
4) 5x^4+9x^3-2x^2-4x-8=0;
5) 2x^4-3x^3-7x^2+6x+8=0;
6) x^5+8x^4+24x^3+35x^2+28x+12=0.

1. $$x^3+9x^2+23x+15=0$$
   Проверим целые корни. При $$x=-1$$ получаем:
   $$(-1)^3+9(-1)^2+23(-1)+15=0.$$
   Значит, $$x+1$$ — множитель:
   $$ x^3+9x^2+23x+15=(x+1)(x^2+8x+15). $$
   Тогда
   $$ (x+1)(x^2+8x+15)=0. $$
   Разложим квадратный трёхчлен:
   $$ x^2+8x+15=(x+3)(x+5). $$
   Следовательно,
   $$ (x+1)(x+3)(x+5)=0, $$
   откуда
   $$x=-1,\,-3,\,-5.$$
2. $$2x^3-x^2-5x-2=0$$
   Проверим $$x=-1$$:
   $$2(-1)^3-(-1)^2-5(-1)-2=0.$$
   Тогда
   $$ 2x^3-x^2-5x-2=(x+1)(2x^2-3x-2). $$
   Решим квадратное уравнение:
   $$ 2x^2-3x-2=0. $$
   $$ D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25. $$
   $$ x=\frac{3\pm 5}{4}. $$
   Получаем
   $$x_1=2,\quad x_2=-\frac12.$$
   Итак, корни:
   $$x=-1,\,-\frac12,\,2.$$
3. $$3x^4+5x^3-x^2-5x-2=0$$
   Проверим $$x=1$$ и $$x=-1$$:
   $$ 3+5-1-5-2=0,\qquad 3-5-1+5-2=0. $$
   Значит,
   $$ 3x^4+5x^3-x^2-5x-2=(x+1)(x-1)(3x^2+5x+2). $$
   Разложим квадратный трёхчлен:
   $$ 3x^2+5x+2=(3x+2)(x+1). $$
   Тогда
   $$ (x+1)^2(x-1)(3x+2)=0. $$
   Отсюда
   $$x=-1,\;1,\;-\frac23.$$
4. $$5x^4+9x^3-2x^2-4x-8=0$$
   Проверим $$x=1$$ и $$x=-2$$:
   $$ 5+9-2-4-8=0,\qquad 80-72-8-8-8=0. $$
   Значит,
   $$ 5x^4+9x^3-2x^2-4x-8=(x+2)(x-1)(5x^2+4x+4). $$
   Для квадратного трёхчлена:
   $$ D=4^2-4\cdot 5\cdot 4=16-80<0. $$ Действительных корней он не имеет. Поэтому $$x=-2,\;1.$$
5. $$2x^4-3x^3-7x^2+6x+8=0$$
   Проверим $$x=-1$$ и $$x=2$$:
   $$ 2+3-7-6+8=0,\qquad 32-24-28+12+8=0. $$
   Тогда
   $$ 2x^4-3x^3-7x^2+6x+8=(x+1)(x-2)(2x^2-x-4). $$
   Решим квадратное уравнение:
   $$ 2x^2-x-4=0. $$
   $$ D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-4)=1+32=33. $$
   $$ x=\frac{1\pm \sqrt{33}}{4}. $$
   Следовательно,
   $$x=-1,\;2,\;\frac{1-\sqrt{33}}{4},\;\frac{1+\sqrt{33}}{4}.$$
6. $$x^5+8x^4+24x^3+35x^2+28x+12=0$$
   Проверим $$x=-2$$:
   $$ -32+128-192+140-56+12=0. $$
   Значит, $$x+2$$ — множитель. После последовательного деления получаем:
   $$ x^5+8x^4+24x^3+35x^2+28x+12=(x+2)^2(x+3)(x^2+x+1). $$
   Для квадратного трёхчлена:
   $$ D=1-4=-3<0, $$ поэтому действительных корней он не имеет. Итак, $$x=-2,\;-3.$$

Ответ

1) $$-5,\,-3,\,-1$$;
2) $$-1,\,-\frac12,\,2$$;
3) $$-1,\,-\frac23,\,1$$;
4) $$-2,\,1$$;
5) $$-1,\,2,\,\frac{1-\sqrt{33}}{4},\,\frac{1+\sqrt{33}}{4}$$;
6) $$-2,\,-3$$.