Упр.50.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 50.9. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению (x^2+x-1)^(2n)+(x^2-x+1)^(2n)-2, где n?N, делится нацело на многочлен x^2-x.

Обозначим

$$P(x)=(x^2+x-1)^{2n}+(x^2-x+1)^{2n}-2.$$

Проверим значения многочлена при $$x=0$$ и $$x=1$$:

$$P(0)=(0+0-1)^{2n}+(0-0+1)^{2n}-2=1+1-2=0,$$

$$P(1)=(1+1-1)^{2n}+(1-1+1)^{2n}-2=1+1-2=0.$$

Значит, $$x$$ и $$x-1$$ являются множителями многочлена $$P(x)$$. Следовательно, $$P(x)$$ делится на произведение этих множителей:

$$x(x-1)=x^2-x.$$

Итак, многочлен $$P(x)$$ делится нацело на $$x^2-x$$.

Ответ

$$P(x)$$ делится нацело на $$x^2-x.$$