Упр.50.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 50.8. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению (x+1)^(2n)-x^(2n)-2x-1, где n?N, делится нацело на многочлен, тождественно равный выражению x(x+1)(2x+1).

Обозначим

$$P(x)=(x+1)^{2n}-x^{2n}-2x-1.$$

Проверим значения многочлена в точках, соответствующих множителям делителя:

$$P(0)=1^{2n}-0^{2n}-2\cdot 0-1=1-1=0,$$

$$P(-1)=0^{2n}-(-1)^{2n}+2-1=0-1+2-1=0,$$

$$P\left(-\frac12\right)=\left(\frac12\right)^{2n}-\left(-\frac12\right)^{2n}+1-1=0.$$

Следовательно, многочлен $$P(x)$$ обращается в нуль при $$x=0,$$ $$x=-1$$ и $$x=-\frac12,$$ значит, он делится нацело на произведение соответствующих линейных множителей:

$$x(x+1)(2x+1).$$

Ответ

$$ (x+1)^{2n}-x^{2n}-2x-1 $$ делится нацело на $$x(x+1)(2x+1).$$