Упр.50.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $$(x+1)^{2n}-x^{2n}-2x-1$$, где $$n\in\mathbb{N}$$, делится нацело на многочлен, тождественно равный выражению $$x(x+1)(2x+1)$$.

Рассмотрим многочлен

$$P(x)=(x+1)^{2n}-x^{2n}-2x-1.$$

Проверим его значения в точках $$x=0,$$ $$x=-1$$ и $$x=-\frac12.$$

$$P(0)=1^{2n}-0^{2n}-2\cdot 0-1=1-1=0,$$

$$P(-1)=0^{2n}-(-1)^{2n}+2-1=0-1+2-1=0,$$

$$P\!\left(-\frac12\right)=\left(\frac12\right)^{2n}-\left(-\frac12\right)^{2n}+1-1=0.$$

Значит, многочлен $$P(x)$$ имеет корни $$0,$$ $$-1$$ и $$-\frac12.$$ Следовательно, он делится нацело на произведение соответствующих линейных множителей:

$$x(x+1)\left(2x+1\right).$$

Ответ: $$P(x)$$ делится нацело на $$x(x+1)(2x+1).$$