Упр.50.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 50.7. Докажите, что (x^n-a^n)?(x^k-a^k), если n?k, n?N, k?N.

Так как $$n:k,$$ то существует $$m \in \mathbb{N}$$ такое, что $$n=mk.$$ Тогда

$$x^n-a^n=x^{mk}-a^{mk}.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$m$$ нечётно, то по формуле разности степеней

   $$x^{mk}-a^{mk}=(x^k-a^k)\left(x^{k(m-1)}+x^{k(m-2)}a^k+\cdots+a^{k(m-1)}\right).$$

   Значит, $$x^n-a^n$$ делится на $$x^k-a^k.$$

2. Если $$m$$ чётно, то положим $$m=2p$$. Тогда

   $$x^{mk}-a^{mk}=x^{2pk}-a^{2pk}=(x^{pk}-a^{pk})(x^{pk}+a^{pk}).$$

   Далее, так как $$p$$ — целое число, то аналогично можно продолжать разложение, пока не получим множитель вида $$x^{lk}-a^{lk},$$ где $$l$$ нечётно или $$l=1.$$ В любом случае в разложении появится множитель $$x^k-a^k.$$

Следовательно, $$x^n-a^n$$ делится на $$x^k-a^k$$ при $$n:k.$$

Ответ

$$x^k-a^k \mid x^n-a^n.$$