Упр.50.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) A(x)=x^7-1, B(x)=x^3+x+1; 2) A(x)=x^3+5x^2-6x-6, B(x)=x-2.

1. Разделим $$A(x)=x^7-1$$ на $$B(x)=x^3+x+1$$.

   Подбираем неполное частное по старшим членам:

   $$x^7:x^3=x^4$$

   Вычитаем:

   $$ x^7-1-(x^4(x^3+x+1))=x^7-1-(x^7+x^5+x^4)=-x^5-x^4-1 $$

   Далее:

   $$-x^5:x^3=-x^2$$

   $$ (-x^5-x^4-1)-(-x^2(x^3+x+1))=-x^5-x^4-1-(-x^5-x^3-x^2)=-x^4+x^3+x^2-1 $$

   Ещё раз:

   $$-x^4:x^3=-x$$

   $$ (-x^4+x^3+x^2-1)-(-x(x^3+x+1))=-x^4+x^3+x^2-1-(-x^4-x^2-x)=-x^3+2x^2+x-1 $$

   И наконец:

   $$-x^3:x^3=-1$$

   $$ (-x^3+2x^2+x-1)-(-(x^3+x+1))=2x^2-2 $$

   Значит, неполное частное равно $$x^4-x^2-x+1$$, остаток равен $$2x^2-2$$.

2. Разделим $$A(x)=x^3+5x^2-6x-6$$ на $$B(x)=x-2$$.

   $$x^3:x=x^2$$

   $$ x^3+5x^2-6x-6-(x^2(x-2))=x^3+5x^2-6x-6-(x^3-2x^2)=7x^2-6x-6 $$

   $$7x^2:x=7x$$

   $$ 7x^2-6x-6-(7x(x-2))=7x^2-6x-6-(7x^2-14x)=8x-6 $$

   $$8x:x=8$$

   $$ 8x-6-(8(x-2))=8x-6-(8x-16)=10 $$

   Следовательно, неполное частное равно $$x^2+7x+8$$, остаток равен $$10$$.

Ответ

1) $$x^4-x^2-x+1$$, $$2x^2-2$$; 2) $$x^2+7x+8$$, $$10$$.