Упр.50.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 50.2. Докажите, что многочлен A(x)=2x^4-x^3+2x^2+1 делится нацело на многочлен B(x)=x^2-x+1.

Выполним деление многочлена $$A(x)=2x^4-x^3+2x^2+1$$ на многочлен $$B(x)=x^2-x+1$$.

$$ \begin{aligned} 2x^4-x^3+2x^2+0x+1 &: x^2-x+1 \\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} 2x^4-x^3+2x^2+0x+1 &= (2x^2)(x^2-x+1) + (x^3+x^2+0x+1), \\ x^3+x^2+0x+1 &= (x)(x^2-x+1) + (2x^2+x+1), \\ 2x^2+x+1 &= (2)(x^2-x+1) + 0. \end{aligned} $$

Следовательно, остаток при делении равен $$0$$, значит, многочлен $$A(x)$$ делится нацело на многочлен $$B(x)$$.

Найдём частное:

$$ 2x^2+x+2. $$

Проверка:

$$ (x^2-x+1)(2x^2+x+2)=2x^4-x^3+2x^2+1. $$

Ответ

$$2x^4-x^3+2x^2+1=(x^2-x+1)(2x^2+x+2),$$ поэтому деление нацело.