Упр.50.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 50.17. Степень многочлена P(x) равна 100. Известно, что P(-1)=P(1), P(-2)=P(2), …, P(-50)=P(50). Верно ли, что для любого x?R выполняется равенство P(-x)=P(x)?

Рассмотрим многочлен $$Q(x)=P(x)-P(-x).$$

Его степень не превосходит $$99,$$ так как старшие члены многочленов $$P(x)$$ и $$P(-x)$$ взаимно уничтожаются.

По условию

$$P(-1)=P(1),\; P(-2)=P(2),\; \ldots,\; P(-50)=P(50).$$

Значит,

$$Q(1)=Q(2)=\ldots=Q(50)=0,$$

а также

$$Q(-1)=Q(-2)=\ldots=Q(-50)=0.$$

Итак, у многочлена $$Q(x)$$ не менее $$100$$ корней, а его степень не превосходит $$99.$$ Следовательно, $$Q(x)\equiv 0.$$

Тогда для любого $$x\in \mathbb{R}$$

$$P(x)-P(-x)=0,$$

то есть

$$P(-x)=P(x).$$

Ответ

Да, верно.