Упр.50.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 50.16. Докажите тождество a(x-b)(x-c)/((a-b)(a-c))+b(x-c)(x-a)/((b-c)(b-a))+c(x-a)(x-b)/((c-a)(c-b))=x.

Подробный ответ

Обозначим левую часть тождества минус $$x$$ через $$P(x)$$:

$$ P(x)=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}-x. $$

Тогда

$$ P(a)=a\frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(a-c)(a-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)}-a=0, $$

$$ P(b)=a\frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)}-b=0, $$

$$ P(c)=a\frac{(c-b)(c-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(c-c)(c-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)}-c=0. $$

Следовательно, числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ являются корнями многочлена $$P(x)$$. При этом степень $$P(x)$$ не превосходит второй. Значит, многочлен второй степени имеет три различных корня, поэтому он тождественно равен нулю:

$$P(x)\equiv 0.$$

Отсюда

$$ a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x. $$