Упр.50.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 50.15. Докажите, что выражение x^3+y^3+z^3-3xyz делится нацело на выражение x+y+z.

Обозначим

$$P(x)=x^3+y^3+z^3-3xyz.$$

Рассмотрим значение этого многочлена при $$x=-y-z$$:

$$ P(-y-z)=(-y-z)^3+y^3+z^3-3(-y-z)yz. $$

Раскроем скобки:

$$ P(-y-z)=-y^3-3y^2z-3yz^2-z^3+y^3+z^3+3y^2z+3yz^2=0. $$

Значит, число $$x=-y-z$$ является корнем многочлена $$P(x)$$. Следовательно, многочлен $$P(x)$$ делится на $$x-(-y-z)=x+y+z$$.

Можно также записать разложение:

$$ x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz). $$

Ответ

$$x^3+y^3+z^3-3xyz$$ делится нацело на $$x+y+z$$.