Упр.50.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 50.14. Докажите, что выражение a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) делится нацело на выражение (a-b)(b-c)(c-a).

Обозначим

$$P(a,b,c)=a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b).$$

Покажем, что это выражение делится на каждый из множителей $$a-b,$$ $$b-c,$$ $$c-a.$$

Если $$a=b,$$ то

$$P(a,a,c)=a^3(a-c)+a^3(c-a)+c^3(a-a)=0.$$

Значит, $$P(a,b,c)$$ делится на $$a-b.$$

Если $$b=c,$$ то

$$P(a,b,b)=a^3(b-b)+b^3(b-a)+b^3(a-b)=0.$$

Значит, $$P(a,b,c)$$ делится на $$b-c.$$

Если $$c=a,$$ то

$$P(a,b,a)=a^3(b-a)+b^3(a-a)+a^3(a-b)=0.$$

Значит, $$P(a,b,c)$$ делится на $$c-a.$$

Так как множители $$a-b,$$ $$b-c,$$ $$c-a$$ попарно различны, то выражение $$P(a,b,c)$$ делится на их произведение:

$$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$$

делится нацело на

$$ (a-b)(b-c)(c-a). $$

Ответ

$$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$$ делится нацело на $$ (a-b)(b-c)(c-a). $$