Упр.50.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 50.13. При каких значениях параметров а и b многочлен x^3+ax^2+bx+ab при делении на x-2 даёт в остатке 15, а при делении на x+1 даёт в остатке 0?

Обозначим

$$P(x)=x^3+ax^2+bx+ab.$$

По теореме об остатке:

$$P(-1)=0,$$

$$P(2)=15.$$

Составим уравнения:

$$P(-1)=-1+a-b+ab=0,$$

откуда

$$a-b+ab=1.$$

Также

$$P(2)=8+4a+2b+ab=15,$$

то есть

$$4a+2b+ab=7.$$

Из первого уравнения выразим $$ab$$:

$$ab=1-a+b.$$

Подставим во второе:

$$4a+2b+1-a+b=7,$$

$$3a+3b=6,$$

$$a+b=2.$$

Теперь подставим $$a=2-b$$ в выражение $$ab=1-a+b$$:

$$b(2-b)=1-(2-b)+b,$$

$$2b-b^2=2b-1,$$

$$b^2=1.$$

Следовательно,

$$b=1 \text{ или } b=-1.$$

Если $$b=1,$$ то $$a=2-1=1.$$

Если $$b=-1,$$ то $$a=2-(-1)=3.$$

Проверка показывает, что оба набора подходят.

Ответ

$$a=1,\ b=1$$ или $$a=3,\ b=-1.$$