Упр.50.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 50.12. При каких значениях параметров a, b и с мпогочлен x^3+ax^2+bx+c делится нацело на двучлены x-1 и x+2, а при делении на двучлен x+1 даёт в остатке 10?

Пусть $$P(x)=x^3+ax^2+bx+c.$$

Так как многочлен делится нацело на $$x-1$$ и $$x+2,$$ то

$$P(1)=0,\qquad P(-2)=0.$$

А при делении на $$x+1$$ остаток равен $$10,$$ значит

$$P(-1)=10.$$

Составим уравнения:

$$P(1)=1+a+b+c=0,$$

$$P(-1)=-1+a-b+c=10,$$

$$P(-2)=-8+4a-2b+c=0.$$

Из первого и второго уравнений получаем:

$$\begin{cases} 1+a+b+c=0,\\ -1+a-b+c=10 \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$-2-2b=10,$$

$$2b=-12,$$

$$b=-6.$$

Тогда из $$1+a+b+c=0$$ имеем

$$1+a-6+c=0,$$

$$a+c=5.$$

Подставим $$b=-6$$ в третье уравнение:

$$-8+4a-2(-6)+c=0,$$

$$-8+4a+12+c=0,$$

$$4a+c=-4.$$

Решим систему

$$\begin{cases} a+c=5,\\ 4a+c=-4 \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$3a=-9,$$

$$a=-3.$$

Тогда

$$c=5-(-3)=8.$$

Ответ

$$a=-3,\quad b=-6,\quad c=8.$$