Упр.50.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 50.1. Докажите, что многочлен x^4-1 делится нацело на многочлен x^3+x^2+x+1.

Разложим многочлен $$x^4-1$$ на множители:

$$ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1). $$

Теперь преобразуем делитель:

$$ x^3+x^2+x+1=x^2(x+1)+1(x+1)=(x+1)(x^2+1). $$

Тогда

$$ x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)=(x-1)(x^3+x^2+x+1). $$

Следовательно, многочлен $$x^4-1$$ делится нацело на многочлен $$x^3+x^2+x+1$$.

Ответ

$$x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1),$$ значит, делится нацело.