Упр.5.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=vx+2; 3) y=v((x-1)(x-3)^2);
2) y=|x^2-4|; 4) y=[x].

1. $$y=\sqrt{x}+2$$

   Функция определена при $$x\ge 0$$. Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то

   $$y=\sqrt{x}+2\ge 2,$$

   значит, функция положительна при всех $$x\ge 0$$.

   Промежуток знакопостоянства: $$[0;+\infty).$$

2. $$y=\lvert x^2-4\rvert$$

   Модуль неотрицателен, поэтому $$y\ge 0$$ при всех $$x$$. При этом

   $$\lvert x^2-4\rvert=0 \iff x^2-4=0 \iff x=\pm 2.$$

   Следовательно, функция положительна на промежутках, где $$x^2-4\ne 0$$:

   Промежутки знакопостоянства: $$(-\infty;-2),\;(-2;2),\;(2;+\infty).$$

3. $$y=\sqrt{(x-1)(x-3)^2}$$

   Для существования функции нужно

   $$ (x-1)(x-3)^2\ge 0.$$

   Так как $$ (x-3)^2\ge 0,$$ то при $$x\ge 1$$ подкоренное выражение неотрицательно. Нули функции:

   $$ (x-1)(x-3)^2=0 \iff x=1 \text{ или } x=3.$$

   Значит, функция положительна при

   Промежутки знакопостоянства: $$ (1;3),\;(3;+\infty).$$

4. $$y=[x]$$

   Здесь $$[x]=0$$ при $$0\le x<1$$, $$[x]>0$$ при $$x\ge 1$$ и $$[x]<0$$ при $$x<0$$.

   Следовательно, функция знакопостоянна на промежутках

   Промежутки знакопостоянства: $$(-\infty;0),\;[1;+\infty).$$

Ответ

1) $$[0;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;-2),\;(-2;2),\;(2;+\infty)$$; 3) $$ (1;3),\;(3;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;0),\;[1;+\infty).$$