Упр.5.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=v(x-1); 3) y=v(x(x-1)^2);
2) y=|x+1|; 4) y={x}.

1. $$y=\sqrt{x-1}$$

   Для сохранения знака нужно, чтобы функция была определена и не обращалась в нуль:

   $$x-1>0$$

   Отсюда

   $$x>1.$$

   Значит, функция положительна на промежутке $$\left(1;+\infty\right).$$

2. $$y=|x+1|$$

   Модуль неотрицателен при всех $$x$$, а равен нулю только при $$x=-1$$. Поэтому

   $$|x+1|>0 \quad \text{при} \quad x\ne -1.$$

   Следовательно, функция положительна на промежутках

   $$\left(-\infty;-1\right)\ \text{и}\ \left(-1;+\infty\right).$$

3. $$y=\sqrt{x(x-1)^2}$$

   Чтобы функция была положительной, нужно

   $$x(x-1)^2>0.$$

   Так как $$\left(x-1\right)^2\ge 0$$ и обращается в нуль при $$x=1$$, то знак произведения определяется знаком $$x$$ при $$x\ne 1$$. Получаем:

   $$x>0,\quad x\ne 1.$$

   Значит, функция положительна на промежутках

   $$\left(0;1\right)\ \text{и}\ \left(1;+\infty\right).$$

4. $$y=\{x\}$$

   Дробная часть числа удовлетворяет неравенству

   $$0\le \{x\}<1.$$

   Следовательно, функция положительна при всех $$x$$, кроме целых, то есть на каждом промежутке

   $$\left(k;k+1\right),\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$\left(1;+\infty\right);$$ 2) $$\left(-\infty;-1\right),\ \left(-1;+\infty\right);$$ 3) $$\left(0;1\right),\ \left(1;+\infty\right);$$ 4) $$\left(k;k+1\right),\ k\in\mathbb{Z}.$$