Упр.5.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите промежутки знакопостоянства функции:
   1) $$y=\sqrt{x-1}$$;
   3) $$y=\sqrt{x(x-1)^2}$$;
   2) $$y=|x+1|$$;
   4) $$y=\{x\}$$.

1) $$y=\sqrt{x-1}$$

Чтобы функция была положительной, нужно, чтобы подкоренное выражение было больше нуля:

$$x-1>0$$

$$x>1$$

Значит, функция положительна при $$x\in(1;+\infty).$$

2) $$y=|x+1|$$

Модуль неотрицателен при всех $$x\in\mathbb{R},$$ а равен нулю только при $$x=-1.$$

Следовательно, функция положительна при

$$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

3) $$y=\sqrt{x(x-1)^2}$$

Для положительности нужно:

$$x(x-1)^2>0.$$

Так как $$\,(x-1)^2\ge 0,$$ то знак произведения определяется знаком $$x$$, а нулю выражение равно при $$x=0$$ и $$x=1.$$

При $$x>0$$ и $$x\ne 1$$ имеем положительное значение функции, значит

$$x\in(0;1)\cup(1;+\infty).$$

4) $$y=\{x\}$$

Здесь $$\{x\}$$ — дробная часть числа. Она удовлетворяет неравенству

$$0\le \{x\}<1.$$

Поэтому функция положительна тогда и только тогда, когда $$\{x\}\ne 0,$$ то есть $$x\notin\mathbb{Z}.$$

Значит, функция положительна при

$$x\in(k;k+1),\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$\,(1;+\infty)\,;$$ 2) $$\,(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)\,;$$ 3) $$\,(0;1)\cup(1;+\infty)\,;$$ 4) $$\,(k;k+1),\ k\in\mathbb{Z}.$$