Упр.5.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите нули функции: 1) $$y=|x|+x$$; 3) $$y=[x]$$; 2) $$y=\frac{x^2-9}{v(x-2)}$$; 4) $$y=xD(x)$$.

Найдём значения аргумента, при которых функция обращается в нуль.

1. $$y=|x|+x$$

   Рассмотрим случаи:

   если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит $$y=2x,$$ и $$2x=0 \Rightarrow x=0;$$

   если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит $$y=-x+x=0.$$

   Следовательно, нули функции: $$(-\infty;0].$$

2. $$y=\dfrac{x^2-9}{\sqrt{x-2}}$$

   Чтобы дробь была определена, нужно $$x-2>0,$$ то есть $$x>2.$$

   Для нуля функции числитель должен быть равен нулю:

   $$x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$

   С учётом области определения подходит только $$x=3.$$

   Нули функции: $$3.$$

3. $$y=[x]$$

   Функция равна нулю, когда

   $$0\le x<1.$$

   Нули функции: $$[0;1).$$

4. $$y=xD(x)$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $$x=0 \quad \text{или} \quad D(x)=0.$$

   Следовательно, нули функции: $$\{0\}\cup \mathbb{Q}.$$

Ответ: 1) $$(-\infty;0]$$; 2) $$3$$; 3) $$[0;1)$$; 4) $$\{0\}\cup \mathbb{Q}.$$