Упр.5.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите нули функции: 1) $$y=v(x-1)\cdot v(x+1)$$; 4) $$y=\{x\}$$; 2) $$y=xv(x-1)$$; 5) $$y=D(x)$$; 3) $$y=|x|-x$$.

1) $$y=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}.$$

Чтобы функция была определена, нужно:

$$x-1\ge 0,\qquad x+1\ge 0.$$

Отсюда $$x\ge 1.$$

При $$x=1$$ получаем $$y=\sqrt{0}\cdot\sqrt{2}=0.$$

Значит, нуль функции: $$x=1.$$

2) $$y=x\sqrt{x-1}.$$

Область определения:

$$x-1\ge 0,\qquad x\ge 1.$$

Нули функции находятся из уравнения

$$x\sqrt{x-1}=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x-1}=0.$$

Но $$x=0$$ не принадлежит области определения, а из $$\sqrt{x-1}=0$$ получаем $$x=1.$$

Значит, нуль функции: $$x=1.$$

3) $$y=|x|-x.$$

Решим уравнение

$$|x|-x=0 \quad \Longrightarrow \quad |x|=x.$$

Это верно при $$x\ge 0.$$

Следовательно, нули функции: $$x\in[0;+\infty).$$

4) $$y=\{x\}.$$

Дробная часть числа равна нулю тогда и только тогда, когда число целое. Поэтому

$$\{x\}=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\in\mathbb Z.$$

Значит, нули функции: $$x\in\mathbb Z.$$

5) $$y=D(x).$$

Функция $$D(x)$$ равна нулю при всех нецелых значениях $$x$$, то есть

$$D(x)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q.$$

Значит, нули функции: $$x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q.$$

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=1$$; 3) $$x\in[0;+\infty)$$; 4) $$x\in\mathbb Z$$; 5) $$x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$$.