Упр.5.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=v(x-1)·v(x+1); 4) y={x};
2) y=xv(x-1); 5) y=D(x).
3) y=|x|-x;

1. $$y=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}$$
   Нули функции получаются, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
   $$\sqrt{x-1}=0 \Rightarrow x=1,$$
   $$\sqrt{x+1}=0 \Rightarrow x=-1.$$
   Но область определения задаётся условиями
   $$x-1\ge 0,\quad x+1\ge 0,$$
   откуда
   $$x\ge 1.$$
   Значит, подходит только $$x=1.$$
2. $$y=x\sqrt{x-1}$$
   Область определения:
   $$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$
   Нули функции:
   $$x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x-1}=0 \Rightarrow x=1.$$
   С учётом области определения подходит только $$x=1.$$
3. $$y=|x|-x$$
   Рассмотрим случаи:
   $$x\ge 0 \Rightarrow |x|=x,\quad y=x-x=0;$$
   $$x<0 \Rightarrow |x|=-x,\quad y=-x-x=-2x\ne 0.$$
   Значит, нули функции при
   $$x\in[0;+\infty).$$
4. $$y=\{x\}$$
   Дробная часть числа равна нулю тогда и только тогда, когда число целое:
   $$\{x\}=0 \iff x\in\mathbb{Z}.$$
5. $$y=D(x)$$
   Функция Дирихле равна нулю для иррациональных чисел:
   $$D(x)=0 \iff x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.$$

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=1$$; 3) $$x\in[0;+\infty)$$; 4) $$x\in\mathbb{Z}$$; 5) $$x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$$.