Упр.5.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 5.29. Решите уравнение |x-1|+|x+2|=v(9-x^2).

Рассмотрим уравнение

$$|x-1|+|x+2|=\sqrt{9-x^2}.$$

Правая часть определена при $$9-x^2\ge 0,$$ то есть при $$-3\le x\le 3.$$

Обе части уравнения неотрицательны. Найдём их наибольшие и наименьшие возможные значения.

Для функции $$\sqrt{9-x^2}$$ имеем

$$\sqrt{9-x^2}\le \sqrt{9}=3,$$

и равенство достигается при $$x=0.$$

Для выражения $$|x-1|+|x+2|$$ рассмотрим точки $$x=-2$$ и $$x=1.$$

Если $$x\le -2,$$ то

$$|x-1|+|x+2|=(1-x)+(-x-2)=-2x-1\ge 3.$$

Если $$-2\le x\le 1,$$ то

$$|x-1|+|x+2|=(1-x)+(x+2)=3.$$

Если $$x\ge 1,$$ то

$$|x-1|+|x+2|=(x-1)+(x+2)=2x+1\ge 3.$$

Значит,

$$|x-1|+|x+2|\ge 3,$$

а равенство достигается при любом $$x\in[-2;1].$$

Чтобы уравнение было верным, обе части должны быть равны $$3.$$ Тогда

$$\sqrt{9-x^2}=3 \quad \Rightarrow \quad x=0.$$

Проверка:

$$|0-1|+|0+2|=1+2=3,$$

$$\sqrt{9-0^2}=3.$$

Ответ

$$x=0.$$