Упр.5.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 5.28. Решите уравнение |x+1|-|x|=v(x^4+1).

Рассмотрим уравнение:

$$|x+1|-|x|=\sqrt{x^4+1}.$$

Найдём значения левой и правой частей при $$x=0$$:

$$\sqrt{0^4+1}=1,$$

$$|0+1|-|0|=1-0=1.$$

Значит, $$x=0$$ — корень уравнения.

Покажем, что других решений нет.

Для левой части рассмотрим случаи:

$$ x\le -1:\quad |x+1|-|x|=-(x+1)-(-x)=-1; $$
$$ -1\le x\le 0:\quad |x+1|-|x|=(x+1)-(-x)=2x+1; $$
$$ x\ge 0:\quad |x+1|-|x|=(x+1)-x=1. $$

Следовательно,

$$|x+1|-|x|\le 1.$$

Для правой части имеем:

$$x^4\ge 0,\qquad x^4+1\ge 1,$$

значит

$$\sqrt{x^4+1}\ge 1.$$

Чтобы уравнение было верным, нужно одновременно иметь

$$|x+1|-|x|=1 \quad \text{и} \quad \sqrt{x^4+1}=1.$$

Из $$\sqrt{x^4+1}=1$$ получаем:

$$x^4+1=1,$$

$$x^4=0,$$

$$x=0.$$

Проверка показывает, что при $$x=0$$ уравнение выполняется.

Ответ

$$x=0$$