Упр.5.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) min(R, |x-1|+|x-3|);
2) max(R, |x+2|-|x|);
3) max(R, 1/(x^2+1)).

1. Рассмотрим функцию $$y=|x-1|+|x-3|.$$

   Разобьём числовую прямую на промежутки:

   при $$x\le 1$$ имеем
   $$y=(1-x)+(3-x)=4-2x;$$

   при $$1\le x\le 3$$ имеем
   $$y=(x-1)+(3-x)=2;$$

   при $$x\ge 3$$ имеем
   $$y=(x-1)+(x-3)=2x-4.$$

   Наименьшее значение функции равно $$2$$.

2. Рассмотрим функцию $$y=|x+2|-|x|.$$

   при $$x\le -2$$ имеем
   $$y=-(x+2)-(-x)=-2;$$

   при $$-2\le x\le 0$$ имеем
   $$y=(x+2)-(-x)=2x+2;$$

   при $$x\ge 0$$ имеем
   $$y=(x+2)-x=2.$$

   Наибольшее значение функции равно $$2$$.

3. Рассмотрим функцию $$y=\dfrac{1}{x^2+1}.$$

   Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$x^2+1\ge 1,$$ значит

   $$0<\frac{1}{x^2+1}\le 1.$$

   Наибольшее значение достигается при $$x=0$$ и равно $$1$$.

Ответ

1) $$2$$; 2) $$2$$; 3) $$1$$.