Упр.5.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=5x^2-x+1; 2) y=(2x-1)/(5x+4); 3) y=4x+1/x.

1. $$y=5x^2-x+1$$

   Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, так как $$5>0$$. Найдём координату вершины:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}.$$

   Вычислим значение функции в вершине:

   $$y_0=5\left(\frac{1}{10}\right)^2-\frac{1}{10}+1=\frac{5}{100}-\frac{1}{10}+1=\frac{19}{20}.$$

   Следовательно, наименьшее значение функции равно $$\frac{19}{20}$$, а область значений:

   $$E(y)=\left[\frac{19}{20};+\infty\right).$$

2. $$y=\frac{2x-1}{5x+4}$$

   Выразим $$x$$ через $$y$$:

   $$y(5x+4)=2x-1$$

   $$5yx+4y=2x-1$$

   $$x(5y-2)=-(1+4y).$$

   Если $$5y-2\neq 0$$, то

   $$x=\frac{-(1+4y)}{5y-2}.$$

   Значит, любое значение $$y$$ возможно, кроме $$y=\frac{2}{5}$$. Поэтому

   $$E(y)=(-\infty;\tfrac{2}{5})\cup(\tfrac{2}{5};+\infty).$$

3. $$y=4x+\frac{1}{x}, \quad x\neq 0.$$

   Умножим на $$x$$:

   $$yx=4x^2+1.$$

   Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:

   $$4x^2-yx+1=0.$$

   Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:

   $$D=y^2-4\cdot 4\cdot 1=y^2-16\ge 0.$$

   Отсюда

   $$y^2\ge 16,\quad y\le -4 \text{ или } y\ge 4.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=(-\infty;-4]\cup[4;+\infty).$$

Ответ

1) $$\left[\frac{19}{20};+\infty\right)$$; 2) $$(-\infty;\tfrac{2}{5})\cup(\tfrac{2}{5};+\infty)$$; 3) $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty)$$.