Упр.5.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=-2x^2+3x-4; 2) y=(3x+1)/(2x+3); 3) y=x/(x^2-1).

1) $$y=-2x^2+3x-4$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине.

$$ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-2)}=\frac34 $$
$$ y_0=-2\left(\frac34\right)^2+3\cdot\frac34-4 =-2\cdot\frac{9}{16}+\frac94-4 =-\frac98+\frac94-4 =-\frac{23}{8} $$

Следовательно, $$E(y)=(-\infty;\,-\frac{23}{8}]$$.

2) $$y=\frac{3x+1}{2x+3}$$

Преобразуем выражение:

$$ 3x+1=1{,}5(2x+3)-3{,}5 $$
$$ y=\frac{1{,}5(2x+3)-3{,}5}{2x+3}=1{,}5-\frac{3{,}5}{2x+3} $$

Так как $$\frac{3{,}5}{2x+3}\neq 0$$, то $$y\neq 1{,}5$$. Значит, область значений:

$$E(y)=(-\infty;\,1{,}5)\cup(1{,}5;\,+\infty)$$.

3) $$y=\frac{x}{x^2-1}$$

Найдём, при каких $$y$$ уравнение имеет решение:

$$ y=\frac{x}{x^2-1} $$
$$ y(x^2-1)=x $$
$$ yx^2-x-y=0 $$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицателен:

$$ D=(-1)^2-4\cdot y\cdot(-y)=1+4y^2\ge 0 $$

Это верно при любом $$y\in\mathbb R$$. Значит, функция принимает все действительные значения.

Ответ

1) $$(-\infty;\,-\frac{23}{8}]$$;
2) $$(-\infty;\,1{,}5)\cup(1{,}5;\,+\infty)$$;
3) $$(-\infty;\,+\infty)$$.