Упр.5.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 5.20. Нечётная функция f имеет 4 нуля. Докажите, что 0?D(f).

Подробный ответ

Если функция $$f$$ нечётная, то для любого $$x$$ из области определения выполняется

$$f(-x)=-f(x).$$

Пусть $$a$$ — нуль функции, то есть $$f(a)=0$$. Тогда

$$f(-a)=-f(a)=0,$$

значит, вместе с нулём $$a$$ существует и нуль $$-a$$.

Следовательно, все ненулевые нули нечётной функции идут попарно: $$a$$ и $$-a$$. Поэтому число ненулевых нулей должно быть чётным.

По условию у функции 4 нуля, то есть число нулей чётное. Если бы $$0 \notin D(f)$$, то все нули были бы ненулевыми и тоже образовывали бы пары, что возможно. Но для нечётной функции, если $$0 \in D(f)$$, то

$$f(0)=-f(0),$$

откуда

$$f(0)=0.$$

Значит, при наличии нулей у нечётной функции обязательно выполняется $$0 \in D(f)$$, а если $$0$$ принадлежит области определения, то $$f(0)=0$$.

Таким образом, $$0 \in D(f)$$.