Упр.5.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите область определения функции:

1. $$f(x)=\sqrt{x+4}+\frac{2}{x+1}$$;
2. $$f(x)=\sqrt{8-x}+\frac{4}{x^2-8x}$$.

1) Для корня нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель дроби — отличным от нуля:

$$x+4\ge 0,\qquad x+1\ne 0.$$

Отсюда

$$x\ge -4,\qquad x\ne -1.$$

Значит, область определения:

$$[-4;\,-1)\cup(-1;\,+\infty).$$

2) Аналогично, для корня и дроби получаем:

$$8-x\ge 0,\qquad x^2-8x\ne 0.$$

Тогда

$$x\le 8,\qquad x(x-8)\ne 0,$$

то есть

$$x\ne 0,\qquad x\ne 8.$$

С учётом условия $$x\le 8$$ получаем область определения:

$$(-\infty;\,0)\cup(0;\,8).$$

Ответ: 1) $$[-4;\,-1)\cup(-1;\,+\infty)$$; 2) $$(-\infty;\,0)\cup(0;\,8).$$