Упр.5.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите $$\max(M, f(x))$$ и $$\min(M, f(x))$$, если:
   1) $$f(x)=-x^2-8x-3,\quad M=R$$;
   2) $$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\quad M=D(f)$$.

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=-x^2-8x-3.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, наибольшее значение достигается в вершине.

Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\cdot(-1)}=\frac{8}{-2}=-4.$$

Вычислим значение функции в этой точке:

$$f(-4)=-(-4)^2-8\cdot(-4)-3=-16+32-3=13.$$

Так как ветви параболы направлены вниз, минимального значения на множестве $$M=\mathbb{R}$$ функция не имеет.

Ответ: $$\max\limits_{M} f(x)=13,\quad \min\limits_{M} f(x)\ \text{не существует}.$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\quad M=D(f).$$

Найдём область определения:

$$2x-x^2\ge 0,$$

$$x(2-x)\ge 0,$$

откуда

$$0\le x\le 2.$$

Значит, $$D(f)=[0;2].$$

Подкоренное выражение можно преобразовать:

$$2x-x^2=1-(x-1)^2.$$

Тогда

$$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^2}.$$

Максимум достигается при $$x=1$$:

$$f(1)=\sqrt{2\cdot 1-1^2}=\sqrt{1}=1.$$

Минимум на концах отрезка:

$$f(0)=\sqrt{0}=0,\qquad f(2)=\sqrt{0}=0.$$

Ответ: $$\max\limits_{M} f(x)=1,\quad \min\limits_{M} f(x)=0.$$