Упр.5.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=-x^2-8x-3, M=R; 2) f(x)=v(2x-x^2), M=D(f).

1. $$f(x)=-x^2-8x-3,\quad M=\mathbb{R}.$$

   Приведём квадратный трёхчлен к вершиной форме:

   $$f(x)=-(x^2+8x)-3=-(x^2+8x+16)+16-3=-(x+4)^2+13.$$

   Так как $$-(x+4)^2\le 0,$$ то наибольшее значение функции равно $$13$$ и достигается при $$x=-4.$$

   Минимального значения на множестве $$\mathbb{R}$$ функция не имеет, так как при $$|x|\to\infty$$ значение $$f(x)\to -\infty.$$

2. $$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\quad M=D(f).$$

   Найдём область определения:

   $$2x-x^2\ge 0,$$

   $$x(2-x)\ge 0,$$

   $$0\le x\le 2.$$

   Преобразуем подкоренное выражение:

   $$2x-x^2=1-(x-1)^2.$$

   Тогда

   $$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^2}.$$

   Максимум достигается при $$x=1$$:

   $$f(1)=\sqrt{1}=1.$$

   Минимум достигается на концах отрезка $$[0;2]$$:

   $$f(0)=0,\quad f(2)=0.$$

Ответ

1) $$\max f(x)=13,$$ $$\min f(x)$$ не существует.

2) $$\min f(x)=0,$$ $$\max f(x)=1.$$