Упр.5.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=x^2-6x+10, M=R; 2) f(x)=v(16-x^2), M=D(f).

1) $$f(x)=x^2-6x+10,\quad M=\mathbb{R}.$$

Приведём квадратный трёхчлен к виду полного квадрата:

$$ f(x)=x^2-6x+10=(x-3)^2+1. $$

Так как $$ (x-3)^2 \ge 0 $$ при любых $$x \in \mathbb{R},$$ то

$$ f(x)\ge 1. $$

Минимум достигается при $$x=3$$ и равен $$1$$. Сверху функция не ограничена, поэтому максимума на $$\mathbb{R}$$ нет.

2) $$f(x)=\sqrt{16-x^2},\quad M=D(f).$$

Найдём область определения:

$$ 16-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2\le 16 \;\Rightarrow\; |x|\le 4. $$

На области определения подкоренное выражение принимает значения от $$0$$ до $$16$$, значит

$$ 0\le \sqrt{16-x^2}\le 4. $$

Максимум достигается при $$x=0$$:

$$ f(0)=\sqrt{16}=4. $$

Минимум достигается при $$x=\pm 4$$:

$$ f(\pm 4)=\sqrt{16-16}=0. $$

Ответ

1) $$\min\limits_M f=1,$$ $$\max\limits_M f$$ не существует.

2) $$\min\limits_M f=0,$$ $$\max\limits_M f=4.$$