Упр.5.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=1/v(|x|-1)+v(x+4); 3) y=v((x+4)^2 (x-3)).
2) y=1/v((x+1)^2 (x+3));

1. $$y=\frac{1}{\sqrt{|x|-1}}+\sqrt{x+4}$$

   Для существования выражения нужно, чтобы подкоренные выражения были определены, а знаменатель не обращался в нуль:

   $$x+4\ge 0,$$

   $$|x|-1>0.$$

   Из неравенства $$|x|-1>0$$ получаем:

   $$|x|>1 \;\Rightarrow\; x<-1 \text{ или } x>1.$$

   Совмещаем с условием $$x\ge -4$$:

   $$x\in[-4;-1)\cup(1;+\infty).$$

2. $$y=\frac{1}{\sqrt{(x+1)^2(x+3)}}$$

   Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:

   $$ (x+1)^2(x+3)>0.$$

   Так как $$ (x+1)^2\ge 0 $$ и равно нулю при $$x=-1,$$ то для положительности произведения нужно:

   $$x+3>0,\quad x\ne -1.$$

   Следовательно,

   $$x>-3,\quad x\ne -1.$$

   Значит, область определения:

   $$x\in(-3;-1)\cup(-1;+\infty).$$

3. $$y=\sqrt{(x+4)^2(x-3)}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$ (x+4)^2(x-3)\ge 0.$$

   Так как $$ (x+4)^2\ge 0 $$ при любых $$x,$$ то произведение неотрицательно, когда:

   $$x-3\ge 0,$$

   или когда

   $$ (x+4)^2=0 \;\Rightarrow\; x=-4.$$

   Итак,

   $$x\in\{-4\}\cup[3;+\infty).$$

Ответ

1) $$[-4;-1)\cup(1;+\infty)$$; 2) $$(-3;-1)\cup(-1;+\infty)$$; 3) $$\{-4\}\cup[3;+\infty)$$.