Упр.5.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите область определения функции:

1. 1) $$y=\frac{1}{\sqrt{|x|-1}}+\sqrt{x+4}$$; 3) $$y=\sqrt{(x+4)^2(x-3)}$$; 2) $$y=\frac{1}{\sqrt{(x+1)^2(x+3)}}$$.

1) Для существования функции нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

$$x+4\ge 0,$$

$$\sqrt{|x|-1}\ne 0.$$

Из первого неравенства получаем $$x\ge -4.$$

Из условия $$\sqrt{|x|-1}\ne 0$$ следует

$$|x|-1>0,$$

то есть

$$|x|>1,$$

откуда $$x<-1$$ или $$x>1.$$

Пересекаем условия:

$$x\in[-4;-1)\cup(1;+\infty).$$

2) Здесь знаменатель должен быть определён и отличен от нуля:

$$\sqrt{(x+1)^2(x+3)}\ne 0.$$

Сначала найдём, когда подкоренное выражение положительно:

$$(x+1)^2(x+3)>0.$$

Так как $$(x+1)^2\ge 0,$$ то для положительности произведения нужно

$$x+3>0,$$

то есть $$x>-3,$$

и одновременно $$x\ne -1,$$ чтобы знаменатель не обращался в нуль.

Следовательно,

$$x\in(-3;-1)\cup(-1;+\infty).$$

3) Для функции

$$y=\sqrt{(x+4)^2(x-3)}$$

нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$(x+4)^2(x-3)\ge 0.$$

Так как $$(x+4)^2\ge 0$$ при любых $$x,$$ то произведение неотрицательно, когда

$$x-3\ge 0,$$

то есть $$x\ge 3,$$

или когда

$$(x+4)^2=0,$$

то есть $$x=-4.$$

Значит, область определения:

$$x\in\{-4\}\cup[3;+\infty).$$

Ответ: 1) $$[-4;-1)\cup(1;+\infty)$$; 2) $$(-3;-1)\cup(-1;+\infty)$$; 3) $$\{-4\}\cup[3;+\infty).$$