Упр.5.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) g(x)=v(2-x)-v(2+x); 3) g(x)=(|4x-1|-|4x+1|)/(x^4-1);
2) g(x)=x^2/(v(3-x)-v(3+x)); 4) g(x)=(3x+2)/(x^2-x+1)+(3x-2)/(x^2+x+1).

Подробный ответ

$$g(x)=\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}.$$
Область определения: $$2-x\ge 0,\quad 2+x\ge 0,$$ значит $$D(g)=[-2;2].$$
Найдём $$g(-x):$$
$$g(-x)=\sqrt{2-(-x)}-\sqrt{2+(-x)}=\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}=-g(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}.$$
Область определения: $$3-x\ge 0,\quad 3+x\ge 0,$$ значит $$D(g)=[-3;3],$$ при этом знаменатель не равен нулю, кроме точки $$x=0,$$ где функция не определена. Но для проверки нечётности достаточно рассмотреть симметричную область определения без точки разрыва: $$D(g)= [-3;3]\setminus\{0\}.$$
Вычислим $$g(-x):$$
$$g(-x)=\frac{(-x)^2}{\sqrt{3-(-x)}-\sqrt{3+(-x)}}=\frac{x^2}{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}=-\frac{x^2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}=-g(x).$$
Значит, функция нечётная.
$$g(x)=\frac{|4x-1|-|4x+1|}{x^4-1}.$$
Область определения: $$x^4-1\ne 0,\quad x\ne \pm 1,$$ то есть
$$D(g)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$
Найдём $$g(-x):$$
$$g(-x)=\frac{|4(-x)-1|-|4(-x)+1|}{(-x)^4-1} =\frac{|-4x-1|-|-4x+1|}{x^4-1} =\frac{|4x+1|-|4x-1|}{x^4-1}=-g(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$g(x)=\frac{3x+2}{x^2-x+1}+\frac{3x-2}{x^2+x+1}.$$
Так как $$x^2-x+1>0$$ и $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb R,$$ область определения: $$D(g)=\mathbb R.$$
Вычислим $$g(-x):$$
$$g(-x)=\frac{3(-x)+2}{(-x)^2-(-x)+1}+\frac{3(-x)-2}{(-x)^2+(-x)+1} =\frac{-3x+2}{x^2+x+1}+\frac{-3x-2}{x^2-x+1}.$$
Переставим слагаемые:
$$g(-x)=-\left(\frac{3x+2}{x^2-x+1}+\frac{3x-2}{x^2+x+1}\right)=-g(x).$$
Значит, функция нечётная.