Упр.5.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=-3x^2+|x|-1;
2) f(x)=x^3/(v(1-x)-v(x+1));
3) f(x)=v(x^2-3x+5)+v(x^2+3x+5);
4) f(x)=(x+2)|x-4|-(x-2)|x+4|.

Подробный ответ

$$f(x)=-3x^2+|x|-1.$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
$$f(-x)=-3(-x)^2+|-x|-1=-3x^2+|x|-1=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}.$$
Для области определения нужно, чтобы
$$1-x\ge 0,\quad x+1\ge 0,$$
то есть
$$-1\le x\le 1.$$
Проверим значение при замене $$x$$ на $$-x$$:
$$f(-x)=\frac{(-x)^3}{\sqrt{1-(-x)}-\sqrt{(-x)+1}} =\frac{-x^3}{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}.$$
Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:
$$f(-x)=\frac{x^3}{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\sqrt{x^2-3x+5}+\sqrt{x^2+3x+5}.$$
Подкоренные выражения всегда положительны, значит $$D(f)=\mathbb{R}.$$
$$f(-x)=\sqrt{(-x)^2-3(-x)+5}+\sqrt{(-x)^2+3(-x)+5}$$
$$=\sqrt{x^2+3x+5}+\sqrt{x^2-3x+5}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=(x+2)|x-4|-(x-2)|x+4|.$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
$$f(-x)=(-x+2)|-x-4|-(-x-2)|-x+4|.$$
Так как $$|-x-4|=|x+4|$$ и $$|-x+4|=|x-4|$$, получаем
$$f(-x)=(2-x)|x+4|+(x+2)|x-4|.$$
Перепишем:
$$f(-x)=(x+2)|x-4|-(x-2)|x+4|=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.