Упр.49.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.9. Целые числа а и b таковы, что значение выражения a^2+9ab+b^2 кратно 11. Докажите, что значение выражения a-b кратно 11.

Преобразуем выражение:

$$a^2+9ab+b^2=(a^2-2ab+b^2)+11ab=(a-b)^2+11ab.$$

По условию $$a^2+9ab+b^2$$ кратно $$11$$, значит и разность

$$ (a-b)^2=(a^2+9ab+b^2)-11ab $$

тоже кратна $$11$$.

Так как $$11$$ — простое число, из кратности $$ (a-b)^2 $$ числу $$11$$ следует кратность $$a-b$$ числу $$11$$.

Ответ

$$a-b$$ кратно $$11$$.