Упр.49.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.8. Найдите все простые числа р такие, что числа 2p+1 и 4p+1 также простые.

Пусть $$p$$ — простое число.

Если $$p=2$$, то $$2p+1=5$$ — простое, а $$4p+1=9$$ — составное. Этот случай не подходит.

Если $$p=3$$, то $$2p+1=7$$ и $$4p+1=13$$ — простые числа. Значит, $$p=3$$ подходит.

Покажем, что других простых значений быть не может. Если $$p>3$$, то простое число $$p$$ не делится на $$2$$ и $$3$$, значит, $$p$$ имеет вид $$6k\pm 1$$.

Рассмотрим два случая:

$$ p=6k-1 \Rightarrow 2p+1=12k-1,\quad 4p+1=24k-3=3(8k-1), $$

то есть число $$4p+1$$ делится на $$3$$ и больше $$3$$, значит, оно составное.

$$ p=6k+1 \Rightarrow 2p+1=12k+3=3(4k+1), $$

то есть число $$2p+1$$ делится на $$3$$ и больше $$3$$, значит, оно составное.

Следовательно, при $$p>3$$ хотя бы одно из чисел $$2p+1$$ и $$4p+1$$ не является простым.

Ответ

$$p=3$$.