Упр.49.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.6. Простые числа р и q таковы, что p > 3 и q > 3. Докажите, что (p^2-q^2)?24.

Так как $$p$$ и $$q$$ — простые числа, причём $$p>3$$ и $$q>3$$, то они не делятся на $$2$$ и $$3$$. Значит, каждое из чисел $$p$$ и $$q$$ имеет вид $$6k\pm 1$$.

Тогда их квадраты сравнимы с $$1$$ по модулю $$24$$:

$$ p=6m\pm 1 \Rightarrow p^2=36m^2\pm 12m+1=12m(3m\pm 1)+1, $$

то есть $$p^2-1$$ делится на $$24$$. Аналогично $$q^2-1$$ делится на $$24$$.

Теперь рассмотрим разность:

$$ p^2-q^2=(p^2-1)-(q^2-1). $$

Так как оба слагаемых справа делятся на $$24$$, то и их разность делится на $$24$$.

Следовательно, $$p^2-q^2$$ кратно $$24$$.

Ответ

$$p^2-q^2$$ делится на $$24$$.