Упр.49.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.5. Докажите, что если р — простое число и p > 3, то (p^2-1)?24.

Так как $$p$$ — простое число и $$p>3$$, то число $$p$$ не делится на $$2$$ и $$3$$. Значит, оно может иметь вид

$$p=6k-1 \quad \text{или} \quad p=6k+1.$$

Тогда

$$p^2-1=(6k\pm 1)^2-1=36k^2\pm 12k+1-1=12k(3k\pm 1).$$

Следовательно, $$p^2-1$$ делится на $$12$$. Кроме того, среди чисел $$p-1$$ и $$p+1$$ одно делится на $$2$$, а другое — на $$4$$, поэтому их произведение $$p^2-1=(p-1)(p+1)$$ делится на $$8$$. Значит, $$p^2-1$$ делится на $$\operatorname{lcm}(12,8)=24$$.

Итак, $$p^2-1$$ кратно $$24$$.

Ответ

$$p^2-1$$ делится на $$24$$.