Упр.49.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.4. Докажите, что каждое простое число p(p > 3) можно записать в виде 6k+1 или 6k-1, k?N.

При делении простого числа $$p>3$$ на $$6$$ возможны остатки $$r=0,1,2,3,4,5$$:

$$p=6q+r.$$

Если $$r=0$$, то число $$p$$ делится на $$6$$, значит, делится на $$2$$ и $$3$$, а это невозможно для простого числа $$p>3$$.

Если $$r=2$$ или $$r=4$$, то число $$p$$ чётное, следовательно, делится на $$2$$. Это тоже невозможно для простого числа $$p>3$$.

Если $$r=3$$, то число $$p$$ делится на $$3$$, что также невозможно для простого числа $$p>3$$.

Остаются только остатки $$r=1$$ и $$r=5$$.

Тогда:

$$p=6q+1=6k+1$$

или

$$p=6q+5=6k-1.$$

Значит, каждое простое число $$p>3$$ можно записать в виде $$6k+1$$ или $$6k-1$$, где $$k\in \mathbb{N}$$.

Ответ

$$p=6k+1$$ или $$p=6k-1$$, $$k\in \mathbb{N}$$.