Упр.49.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что каждое простое число $$p\ (p>3)$$ можно записать в виде $$6k+1$$ или $$6k-1$$, $$k\in\mathbb{N}$$.

Для простого числа $$p>3$$ при делении на $$6$$ возможны остатки только $$1, 2, 3, 4, 5$$:

$$p=6q+r,\quad 1\le r\le 5.$$

Если $$r=2$$ или $$r=4$$, то число $$p$$ делится на $$2$$, значит, оно не может быть простым.

Если $$r=3$$, то число $$p$$ делится на $$3$$, значит, оно тоже не может быть простым.

Остаются только случаи:

$$r=1 \Rightarrow p=6q+1,$$

$$r=5 \Rightarrow p=6q+5=6(q+1)-1.$$

Следовательно, каждое простое число $$p>3$$ можно записать в виде $$6k+1$$ или $$6k-1$$, где $$k\in \mathbb{N}$$.

Ответ: любое простое число $$p>3$$ имеет вид $$6k+1$$ или $$6k-1$$.