Упр.49.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что остаток при делении простого числа на $$30$$ равен 1 или простому числу.

Для простого числа $$p$$ при делении на $$30$$ возможны остатки $$1,2,\dots,29$$.

Но если остаток делится на $$2$$, $$3$$ или $$5$$, то число $$p$$ делится на одно из этих чисел, а значит, не является простым. Поэтому остаток не может быть равен ни одному из чисел

$$2,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30.$$

Остаются только остатки, взаимно простые с числом $$30=2\cdot 3\cdot 5$$:

$$1,7,11,13,17,19,23,29.$$

Следовательно, остаток при делении простого числа на $$30$$ равен $$1$$ или одному из чисел $$7,11,13,17,19,23,29$$.

Ответ

$$1,7,11,13,17,19,23,29.$$