Упр.49.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.3. Докажите, что остаток при делении простого числа на 30 равен 1 или простому числу.

Подробный ответ

Пусть $$p$$ — простое число. При делении на $$30$$ оно даёт остаток $$r$$:

$$p=30q+r,\qquad 1\le r\le 30.$$

Так как $$30=2\cdot 3\cdot 5$$, то если $$r$$ делится на $$2$$, $$3$$ или $$5$$, то и число $$p$$ делится на $$2$$, $$3$$ или $$5$$ соответственно. Но простое число не может делиться ни на одно из этих чисел, кроме случая самого числа $$2$$, $$3$$ или $$5$$.

Значит, остаток $$r$$ не должен делиться на $$2$$, $$3$$ и $$5$$. Среди чисел от $$1$$ до $$30$$ такими являются:

$$1,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29.$$

Следовательно, остаток при делении простого числа на $$30$$ может быть только одним из этих чисел.