Упр.49.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.25. Докажите, что значение выражения 42^47+47^42 является составным числом.

Рассмотрим число $$42^{47}+47^{42}.$$

Заметим, что $$42 \equiv -1 \pmod{43},$$ поэтому

$$42^{47}\equiv (-1)^{47}=-1 \pmod{43}.$$

Кроме того, $$47 \equiv 4 \pmod{43},$$ значит

$$47^{42}\equiv 4^{42}\pmod{43}.$$

По малой теореме Ферма, так как число $$43$$ — простое, имеем

$$4^{42}\equiv 1 \pmod{43}.$$

Тогда

$$42^{47}+47^{42}\equiv -1+1\equiv 0 \pmod{43}.$$

Следовательно, число $$42^{47}+47^{42}$$ делится на $$43$$. При этом оно больше $$43$$, значит, оно составное.

Ответ

$$42^{47}+47^{42}$$ — составное число.