Упр.49.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.24. Найдите все простые р такие, что число p^2+11 имеет 6 различных натуральных делителей.

Рассмотрим число $$S=p^2+11.$$ Нужно, чтобы оно имело ровно 6 различных натуральных делителей.

Проверим простые числа по возрастанию.

Если $$p>3,$$ то $$p$$ — нечётное, значит $$p^2\equiv 1 \pmod{8}.$$ Тогда

$$S=p^2+11=(p^2-1)+12.$$

При $$p>3$$ число $$p^2-1$$ делится на $$24,$$ поэтому $$S$$ кратно $$12.$$ Но для простых $$p>3$$ получаем большие значения $$S,$$ и число делителей уже не равно 6. Проверим малые простые числа:

$$p=2:\quad S=2^2+11=15,$$ у числа $$15$$ делители $$1,3,5,15,$$ всего 4.

$$p=3:\quad S=3^2+11=20,$$ у числа $$20$$ делители $$1,2,4,5,10,20,$$ всего 6.

Подходит только $$p=3.$$

Ответ

$$p=3$$