Упр.49.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.23. Натуральное число а не делится нацело на 29. Докажите, что одно из чисел, a^14-1 или a^14+1, делится нацело на 29.

Рассмотрим произведение:

$$\left(a^{14}-1\right)\left(a^{14}+1\right)=a^{28}-1.$$

Так как число $$29$$ — простое, а натуральное число $$a$$ не делится нацело на $$29$$, то по малой теореме Ферма

$$a^{28}\equiv 1 \pmod{29}.$$

Следовательно,

$$a^{28}-1\equiv 0 \pmod{29},$$

то есть произведение $$\left(a^{14}-1\right)\left(a^{14}+1\right)$$ делится на $$29$$.

Поскольку $$29$$ — простое число, если произведение двух целых чисел делится на $$29$$, то хотя бы один из множителей делится на $$29$$. Значит, одно из чисел $$a^{14}-1$$ или $$a^{14}+1$$ делится нацело на $$29$$.

Ответ

Одно из чисел $$a^{14}-1$$ или $$a^{14}+1$$ делится нацело на $$29$$.