Упр.49.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.22. Докажите, что число 24^24-1 кратно 35.

Разложим число $$35$$ на взаимно простые множители:

$$35=5\cdot 7.$$

Проверим остатки числа $$24$$ по модулю этих чисел:

$$24\equiv -1 \pmod{5}, \qquad 24\equiv 3 \pmod{7}.$$

Тогда

$$24^{24}\equiv (-1)^{24}=1 \pmod{5},$$

а также, так как $$3^6\equiv 1 \pmod{7}$$, имеем

$$24^{24}\equiv 3^{24}=(3^6)^4\equiv 1 \pmod{7}.$$

Значит, число $$24^{24}-1$$ делится и на $$5$$, и на $$7$$. Так как $$5$$ и $$7$$ взаимно просты, то $$24^{24}-1$$ кратно их произведению $$35$$.

Следовательно,

$$24^{24}-1\equiv 0 \pmod{35}.$$

Ответ

$$24^{24}-1$$ кратно $$35$$.