Упр.49.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) a=5^52, b=53; 2) a=2^47, b=41.

1. $$a=5^{52}, \quad b=53$$

   По малой теореме Ферма, так как число $$53$$ — простое и $$5$$ не делится на $$53$$, имеем:

   $$5^{52}\equiv 1 \pmod{53}$$

   Значит, остаток от деления числа $$5^{52}$$ на $$53$$ равен $$1$$.

2. $$a=2^{47}, \quad b=41$$

   Так как $$41$$ — простое число и $$2$$ не делится на $$41$$, по малой теореме Ферма:

   $$2^{40}\equiv 1 \pmod{41}$$

   Тогда

   $$ 2^{47}=2^{40}\cdot 2^7 \equiv 1\cdot 2^7 \pmod{41} $$
   $$ 2^7=128 $$
   $$ 128=41\cdot 3+5 $$

   Следовательно,

   $$2^{47}\equiv 5 \pmod{41}$$

   Остаток равен $$5$$.

Ответ

1) $$1$$; 2) $$5$$.